\chapter{1901年普朗克定律 Planck's Law}
\section{普朗克定律}
物理学中，普朗克定律（或黑体辐射定律）（英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式 。
\begin{figure}
	\caption{空腔黑体辐射\label{cavityradiation}}
	\includegraphics[scale=0.5]{cavityradiation}
\end{figure}

\begin{figure}
	\caption{黑体辐射能量密度\label{energydensity}}
	\includegraphics[scale=0.5]{energydensity}
\end{figure}
\subsection{概述}
电磁波波长和频率的关系为
\begin{align}
	\lambda=\frac{c}{v}
\end{align}
普朗克定律有时写做能量密度频谱的形式：
这是指单位频率在单位体积内的能量，单位是焦耳/（立方米·赫兹）。对全频域积分可得到与频率无关的能量密度。一个黑体的辐射场可以被看作是光子气体，此时的能量密度可由气体的热力学参数决定。
能量密度频谱也可写成波长的函数。

普朗克定律（绿）、维恩近似（蓝）和瑞利-金斯定律（红）在频域下的比较，可见维恩近似在高频区域和普朗克定律相符，瑞利-金斯定律在低频区域和普朗克定律相符。

马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾变”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机，参见后文叙述。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率v有关，并且和频率v成正比。

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
\subsection{普朗克自己的推导过程}
1900年12月14日Planck 提出，如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：

（1） 辐射中心是带电的谐振子，以给定的频率 v 振荡，同周围的电磁场交换能量；

（2）谐振子的能量是不连续的，是一个量子能量
\begin{align}
	\label{planckslaw1}
	\epsilon= h\nu
\end{align}

的整数倍。

根据经典理论，能量为$n\epsilon$的几率$p\propto e^{-n\epsilon/kT}$

设
\begin{align}
	\label{planckslaw2}
	p=ae^{-n\epsilon/kT}
\end{align}

则谐振子平均能量为

\begin{align}
	\label{planckslaw3}
	E=\sum_{n=0}^\infty pn\epsilon=a\sum_{n=0}^\infty n\epsilon e^{-n\epsilon/kT}
\end{align}

因为
\begin{align}
	\label{planckslaw4}
	\sum_{n=0}^\infty p=1
\end{align}

故

\begin{align}
	\label{planckslaw5}
	E=\frac{a \displaystyle\sum_{n=0}^\infty n\epsilon e^{-n\epsilon/kT}}{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty p}=\frac{\epsilon \displaystyle\sum_{n=0}^\infty n e^{-n\epsilon/kT}}{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty e^{-n\epsilon/kT}}
\end{align}

利用级数展开公式

\begin{align}
	\label{planckslaw6}
	\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n
\end{align}

和

\begin{align}
	\label{planckslaw7}
	\sum_{n=0}^{\infty}ne^{-ny}=-\frac{d}{dy}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-ny}
\end{align}

令

\begin{align}
	x=e^{-y} \label{planckslaw8}\\
	y=\epsilon/kT  \label{planckslaw9}
\end{align}

联立式 \ref{planckslaw5} , \ref{planckslaw6} , \ref{planckslaw7} ,  \ref{planckslaw8} , \ref{planckslaw9}，解得

\begin{align}
	\label{planckslaw10}
	E=\frac{\epsilon }{e^{-n\epsilon/kT}-1}
\end{align}

空腔内单位体积内频率在$\nu,\nu+d\nu$的振动数目为

\begin{align}
	\label{planckslaw11}
	dn=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}d\nu
\end{align}

所以能量密度为

\begin{align}
	\label{planckslaw12}
	\rho(\nu)d\nu=dn E
\end{align}

联立以上各式，解得

\begin{align}
	\label{planckslaw13}
	\rho(\nu)d\nu=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{-n\epsilon/kT}-1}d\nu
\end{align}

这就是普朗克定律，或称为黑体辐射定律。
\subsection{推导普朗克定律}
1900年12月14日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：
（1） 原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 $\nu  $振荡；
（2）黑体只能以 $E = h\nu  $为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量。

把空腔内的电磁波分解为各个频率的简谐振动，简谐振动模态的形式最后为
\begin{align}
	\psi_k^\beta(r,t)=C_k^\alpha e^{i(kr-wt)},
\end{align}
其中$\alpha=1,2$表示两个互相垂直的偏振方向,$C_k^\alpha $为常系数，每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在$(\nu ,\nu +d\nu )$内的自由度数为$g(\nu )d\nu $，则$(0,\nu )$范围内的总自由度数$G(\nu )$与$g(\nu )$的关系为
\begin{align}
	G(\nu )=\int_{0}^{\nu }g(\nu )d\nu 
\end{align}

借助几何方法求出
\begin{align}
	G(\nu )=\frac{8\pi V}{3c^3}\nu ^3,
\end{align}
取微分得
\begin{align}
	g(\nu )d\nu =\frac{8\pi V}{c^3}\nu ^2d\nu ,
\end{align}
令$\overline{E}$代表体积为V的空腔内热平衡辐射的总内能，$u(\nu ,T)d\nu $代表单位体积,频率间隔在$(\nu ,\nu +d\nu )$内的能量，于是，
\begin{align}
	\frac{\overline{E}}{V}=\int_{0}^{\infty}u(\nu ,T)d\nu =\int_{0}^{\infty}\overline{\epsilon}\overline{g}(\nu )d\nu 
\end{align}

$\epsilon$代表频率为$\nu $的振子的平均能量，

单位体积内频率间隔在$(\nu ,\nu +d\nu )$内的振动自由度数为
\begin{align}
	\overline{g}(\nu )d\nu =\frac{g(\nu )}{V}=\frac{8\pi}{c^3}\nu ^2d\nu 
\end{align}

应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为
\begin{align}
	\overline{\epsilon}=kT
\end{align}

与振子的频率无关，代入
\begin{align}
	u(\nu ,T)d\nu =\overline{\epsilon}\overline{g}(\nu )d\nu
\end{align}
可以得到
\begin{align}
	u(\nu ,T)d\nu =\frac{8\pi}{c^3}kT\nu ^2d\nu \label{RayleighJeansEq}
\end{align}

这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。

普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，依旧认为
\begin{align}
	\overline{g}(\nu )d\nu =\frac{g(\nu )}{V}=\frac{8\pi}{c^3}\nu ^2d\nu 
\end{align}

正确，但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦-玻尔兹曼分布不对，问题出在振子能量取连续值上。Planck 假定：黑体只能以 $E = h\nu  $为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为$\nu$ 的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍，即
\begin{align}
	\epsilon\to\epsilon_n(\nu )=nh\nu 
\end{align}

他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，即
\begin{align}
	\overline{a_n}(\nu )=e^{-\alpha-\beta\epsilon_n(\nu )}
\end{align}

代表频率为$\nu $对的振子处于能级$\epsilon_n(\nu )$的平均数，于是振子的平均能量为
\begin{align}
	\overline{\epsilon}=\frac{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(\nu )e^{-\alpha-\beta\epsilon_n}}{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha-\beta\epsilon_n}}=\frac{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\epsilon_n(\nu )e^{-\beta\epsilon_n}}{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta\epsilon_n}}
\end{align}
即

\begin{align}
	\overline{\epsilon}(\nu)=-\frac{\partial}{\partial \beta}lnZ(\nu)
\end{align}
其中$Z(\nu)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta\epsilon_n(\nu)}$代表频率为$\nu$ 的振子的配分函数，可以得到
\begin{align}
	Z(\nu)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\beta h\nu}=\frac{1}{1-e^{-\beta h\nu}}\\
	\overline{\epsilon}(\nu)=-\frac{\partial}{\partial \beta}lnZ(\nu)=\frac{h\nu}{e}
\end{align}
由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能量均分定理不成立。
把上式代入得到：
这就是普朗克辐射公式。
\subsection{对 Planck 辐射定律的讨论}
（1）当 $\nu $ 很大（短波）时，因为 $exp(h\nu  /kT)-1 \approx exp(h\nu  /kT)$，	于是	Planck 定律 化为 Wien 公式。
变为

$\lambda_{max}=\frac{2.8977721\cdot10^6nmK}{T}$

（2） 当 $\nu $ 很小（长波）时，因为 $exp(h\nu  /kT)-1 \approx 1+(h \nu  /kT)-1=(h \nu  /kT)$， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式\ref{RayleighJeansEq}。

	\chapter{黑体辐射中普朗克分布的理论与实证研究} 
	
	\begin{abstract} 本文系统论述了普朗克分布的物理内涵及其历史意义。通过推导频率域与波长域的辐射公式，分析其在量子极限与经典极限下的退化特性，并结合宇宙微波背景辐射等现代应用，阐明该理论对量子力学发展的奠基作用。研究显示，普朗克定律完美解决了黑体辐射的"紫外灾变"问题，其蕴含的能量量子化思想彻底改变了人类对微观世界的认知范式。 \end{abstract}
	
	\section{引言} 1900年普朗克提出的黑体辐射定律，首次引入能量量子化假设，标志着量子物理的诞生。该理论通过$h\nu$的能量量子单元，成功统一了辐射场统计行为与热力学规律，为后续玻尔原子模型、量子场论等发展奠定了基石。
	
	\section{理论推导} \subsection{频率空间表达式} 辐射能量密度公式： \begin{equation} u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{\exp(h\nu/kT)-1} \end{equation}
	
	\subsection{波长空间表达式} 辐射出射度公式： \begin{equation} M_\lambda(T) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{\exp(hc/\lambda kT)-1} \end{equation}
	
	\section{极限情况分析} \subsection{高频极限($h\nu \gg kT$)} 退化为维恩公式： \begin{equation} u(\nu, T) \propto \nu^3 \exp(-h\nu/kT) \end{equation}
	
	\subsection{低频极限($h\nu \ll kT$)} 退化为瑞利-金斯定律： \begin{equation} u(\nu, T) \approx \frac{8\pi \nu^2}{c^3}kT \end{equation}
	
	\section{现代应用验证} \subsection{宇宙微波背景辐射} COBE卫星观测数据与$T=2.725,\mathrm{K}$的黑体辐射曲线吻合度达$10^{-4}$量级（如图\ref{fig:CMB}），为宇宙大爆炸理论提供决定性证据。
	
	\begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{CMB_spectrum} \caption{宇宙微波背景辐射能谱与理论预测对比} \label{fig:CMB} \end{figure}
	
	\section{结论} 普朗克分布不仅解决了经典物理的困境，其蕴含的量子思想更催生了全新的物理范式。该理论在精密测量、量子光学等领域的持续应用，彰显了基础物理研究的深远价值。
	
	\begin{thebibliography}{9} \bibitem{planck1901} Planck M. \emph{On the Law of Energy Distribution in the Normal Spectrum}. Ann. Phys., 1901 \bibitem{COBE1992} Smoot G F. \emph{Structure in the COBE DMR}. ApJ, 1992 \end{thebibliography}
	